alidad de los alumnos va a venir a clase, se va a contar con los servicios escolares (luz,
agua, aseo…), el desarrollo de la clase va a ser similar al de los días anteriores, etc. Sobre
esta base elaboramos nuestra agenda, es decir, tomamos decisiones acerca de lo que
vamos a hacer.
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en un mundo en el cual la aparición de de-
terminados resultados está signada por la
probabilidad.
Pues bien, al igual que sobre otros mu-
chos aspectos de nuestra vida, la Matemá-
tica tiene algo que decirnos acerca de todo
esto. No nos va a proporcionar una segu-
ridad absoluta para movernos en nuestra
vida y garantizarnos siempre una perfecta
toma de decisiones, pero sí nos va a ayudar
a entender eso que llamamos probabilidad,
va a tener la osadía de tratar de hallar cier-
tas leyes y procesos que la rigen, y nos va a
facilitar de alguna manera nuestra toma de
decisiones.
Seguramente (o “muy probablemen-
te”…) ya estamos percibiendo la utilidad y
el interés por adentrarnos en los terrenos de
lo que tiene que ver con la probabilidad.
Utilidad e interés no sólo para nosotros,
sino también para nuestros alumnos, pues
sus vidas también están llenas de expectati-
vas y en pleno proceso de adquirir y asimi-
lar numerosas experiencias que, de alguna
manera, estarán referidas a resultados que
también ellos irán cali?cando de “seguros”,
“imposibles”, “más o menos probables”…
Se trata, pues, de abordar los conceptos
y los procesos de la teoría matemática de la
Probabilidad sin temor. Se re?eren a cosas
muy familiares de nuestra vida y no es algo
difícil. El prerrequisito de entrada puede
ser la curiosidad, el deseo de satisfacer la
expectativa generada por la incertidumbre
de los resultados de algunas situaciones, y
las ganas de conocer qué tipos de leyes y
procesos rigen a estas últimas.
2. ¿Cara o sello?, o la intervención del azar
Muy bien, lancemos una moneda (una
moneda sin ningún truco, claro…) al aire. Si
preguntamos de antemano el resultado de este
lanzamiento, podemos optar por cualquiera
de las dos respuestas: cara o sello (evitamos
la situación surrealista de que caiga y se man-
tenga de canto…). Pero nadie que dé alguna
de esas dos respuestas puede estar seguro de
que acierte.
Solemos decir que este es un suceso re-
gido por el azar. También se le cali?ca como suceso aleatorio (del latín [alea] = dado;
aleatorio = propio del juego de dados; y por extensión, lo que está regido por el azar]. Así
son todos los juegos en los que intervienen los dados, las cartas de la baraja, los sorteos,
las loterías (que ya no son un juego), etc.
Frente a lo aleatorio está el mundo del determinismo. Por ejemplo, si pregunto por el
resultado de 2 + 2, ó de 7 x 8, o cómo se escribe 357 en el sistema de numeración maya,
la respuesta es única y determinada; no hay otras opciones frente al resultado único. Y así
con otros hechos naturales: un hijo no puede tener más años que sus progenitores vivos,
etc.
Aclarado el signi?cado del azar, de lo aleatorio y de lo determinista, vamos a imagi-
narnos por un momento en un escenario de ciencia ?cción y nos metemos en la moneda
que se va a lanzar al aire. Y vamos a tomar nota muy precisa de los factores que van a
intervenir en el proceso (trayectoria y resultado) de su lanzamiento al aire.
Entre estos factores están: la posición de la moneda sobre el dedo que la va a lanzar,
la altura a la que se encuentra con respecto al piso, la fuerza exacta con la que va a ser
impulsada, la altura que va a alcanzar, las fuerzas actuantes del ambiente (gravitatoria,
electromagnética, corrientes de aire, etc.), la naturaleza de la super?cie sobre la que va a
caer (dureza, inclinación, relieve, extensión, límites…), los objetos contra los cuales puede
chocar (posición, tamaño, grado de movilidad, dureza…), los efectos de estos posibles
choques, las fuerzas de equilibrio que actuarán en su recorrido sobre la super?cie de
caída…, y quizá otros más.
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Si nosotros, viajeros en esa moneda, tu-
viéramos conocimiento de todos los factores
actuantes, de la forma precisa en que van a
actuar y de los resultados sucesivos y com-
binados de su actuación, y si contáramos
además con el tiempo su?ciente para hacer
todos los cálculos pertinentes relativos a la
trayectoria a seguir, llegaríamos a la respuesta
de su posición ?nal antes de que la moneda
detuviera su movimiento. Es más, ni siquiera
necesitaríamos viajar en la moneda. Podría-
mos saber de antemano el resultado del lan–
zamiento.
En resumen, todo el proceso de lanza-
miento de la moneda está regido por leyes
bien precisas que actúan inexorablemente.
No puede ocurrir, en ningún momento de la
trayectoria de la moneda, ni en su posición
?nal, absolutamente nada que no esté regido
poresasleyesfísicas.Estamosenpresenciade
un evento físicamente determinista.¿Por qué,
entonces, llamamos aleatorio a este suceso?
¿Porquédecimosqueelresultadodellan-
zamiento de una moneda está regido por el
azar? Por una simple razón: porque no tene-
mos el conocimiento ni el tiempo para poder
calcular de antemano y con toda precisión
ese resultado.
¿Dónde está el azar? ¿En la moneda? ¿En
el movimiento de la moneda? No: “está en
nuestra torpeza, la inexperiencia o la ingenui-
dad del que tira [la moneda]… o en el ojo del
observador” (Ekeland, 1998, p. 16). En otras
palabras, la presencia del azar es un indicio
de la presencia de nuestra ignorancia, de
nuestra incapacidad para predecir con exac-
titud el resultado ?nal.
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De modo que cuando hablamos de fenómenos o sucesos aleatorios es porque estamos
incluyendo al observador como parte del fenómeno; es el observador el que desconoce
el resultado ?nal, el que incluye el azar en el experimento, el que lo dota del cali?cativo
de aleatorio. Los dados no juegan a los dados, porque para ellos no hay ningún misterio en
ese resultado ?nal; ellos sólo se dejan llevar por las leyes actuantes, que siempre lo hacen
de una forma determinada.
3. La búsqueda de seguridad y la aceptación
del riesgo
Los escenarios a los que nos tenemos que enfrentar en cada momento son muy va-
riados; algunos son los previstos; otros no lo son. Por ejemplo, hacemos una pregunta en
clase y nos contesta un niño o una niña cuya participación no esperábamos (y quizá tam-
poco la respuesta que nos da). O bien, inesperadamente nos interpela una persona; o nos
encontramos con un grupo de personas ya conformado y que nosotros no convocamos…
Todos estos hechos son contingentes; es decir, ocurren (y son los únicos que ocurren
en su momento), pero bien pudieron haber acaecido otros: responden otros niños, nos
interpela otra persona, encontramos el grupo conformado por otras personas… Nuestra
experiencia ya nos ha enseñado que la realidad es contingente: delante nuestro está lo
que está: personas, objetos, situaciones, actividades, intenciones de la gente, objetivos…;
pero podríamos estar enfrentando una realidad diferente. Y además, desconocemos la que
viene.
Esa contingencia se mani?esta a cada momento. Frente a ella, nuestra reacción es-
pontánea siempre consiste en buscarle sentido a lo contingente, porque todos intentamos
vivir en armonía con nuestro mundo. En otras palabras, buscamos regularidades que nos
den seguridad en nuestra toma de decisiones y orienten nuestra acción en respuesta a la
realidad.
¿Cómo son estas regularidades? Son reglas validadas en el pasado, las que conforman
nuestra experiencia, y que nosotros evocamos en el momento apropiado e intentamos
proyectar hacia el futuro. Así juega nuestra experiencia; y debemos recalcar lo de “nues-
tra”, porque generalmente la experiencia ajena no nos sirve de mucho.
Con este recurso a la experiencia intentamos enfrentar la incertidumbre y disminuir
el riesgo ante la toma de decisiones. Pero de todas formas, no siempre encontramos
la respuesta satisfactoria en este recurso a
la experiencia (esta insatisfacción también
forma parte de nuestra experiencia acumu-
lada…).
Entonces recurrimos a fuentes externas
que le brinden soporte a nuestra búsqueda
de seguridad. Las personas lo han hecho
así desde los albores de la humanidad; han
acudido a magos, adivinos, profetas, sacer-
dotes, oráculos…; a herramientas que des-
velan el azar (lo que salga en los dados, en
las cartas, en las entrañas de las aves, en el
poso del café, en el tabaco que se enciende
y se consume, en el horóscopo… y tantas
otras versiones locales).
El uso de estos recursos cuenta inclu-
so con la bendición divina. En el Antiguo
Testamento se menciona el uso de “echar
suertes” para elegir ¡nada menos que al
primer rey de Israel, Saúl!; y se cuenta que
se hizo por partida triple, para elegir suce-
sivamente la tribu, la familia y, ?nalmente,
la persona (I Samuel 10, 20-24). La justi-
?cación de este recurso se encuentra en
este versículo de los Proverbios: “Se
tira al cara o sello en la palma de
la mano, ¡pero la decisión vie-
ne de Yahvé!” (Proverbios 16,
33).
Y la validez del recurso
de echar suertes persiste en
el Nuevo Testamento. Por
esta vía y precedida por
la oración, se escoge a
Matías entre dos can-
didatos para comple-
tar el grupo de los
doce apóstoles, en
una reunión pre-
sidida por Pedro
(Hechos, 1, 26).
En todos estos casos y guiados
por la fe, los hombres se alivian del peso
de la incertidumbre acudiendo a Dios; se
deja en sus manos la decisión y se acepta
lo que la suerte decida como una mani-
festación de la voluntad divina, a la que se
considera como guía de la historia perso-
nal y colectiva.
Este es un ejemplo patente de la ase-
veración de que la fe mueve montañas;
en este caso, las montañas de la incerti-
dumbre y del riesgo ante la toma de una
decisión.
Claro que también hay otras actitu-
des religiosas frente a los temas del azar,
la incertidumbre y el riesgo. Ekeland ca-
li?ca “la sonrisa de Buda”, su placidez,
como una reacción ante los avatares de
la vida. Para quien cree en un ciclo eterno
de reencarnaciones no hay incertidumbre
ni angustia ante una situación particular.
No puede haberlas porque sé que “la vida
que me toca hoy no es más que un epi-
sodio de una historia in?nita en la cual
desempeñaré todos los papeles, unos tras
otros […]. El azar se disuelve en la dulce
indiferencia del mundo” (Ekeland, 1998,
p. 142).
Pues bien, mediante la utilización de la
información, la invocación de la experien-
cia, o el recurso a factores externos (perso-
nas, instrumentos de adivinación, fe en la
intervención de fuerzas trascendentes), lo
que buscamos es superar la incertidumbre
y disminuir el riesgo inherente a nuestra
toma de decisiones, a la orientación que
demos a nuestra acción.
En otros términos, buscamos convertir
toda elección preñada de azar (por nuestra
ignorancia) en una búsqueda de determi-
nismos subyacentes. Todo por la necesidad
de “identi?car y de construir oasis de regu-
laridad en el desierto de la contingencia”
(Ekeland, 1998, p. 73). No debe causarnos
sorpresa que, dentro del racionalismo de
la cultura occidental, el terreno en que se
rastrea y se descubren los fundamentos de
esos determinismos sea la Matemática.
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absolutamente impredecibles; situaciones desconocidas, frente a las cuales no contamos con
ningún apoyo de experiencias previas.
c) Finalmente, hay otro tipo de fenómenos cuyos resultados no son predecibles, pero
tampoco son fortuitos. Hay en ellos cierta regularidad. Déjenme construir un ejemplo.
Desde que terminé el párrafo anterior hasta el momento en que he empezado éste,
me he dedicado a un experimento: he efectuado 200 lanzamientos de una moneda (un
buen ejercicio, se lo aseguro…); después de cada uno de ellos he anotado el resultado en
términos de cara (C) o sello (S).
No voy a mostrar la secuencia completa de resultados de esos lanzamientos, pero sí la
frecuencia relativa progresiva de caras (y el correspondiente porcentaje) en determinados
momentos del experimento [denotaremos por frecuencia relativa el cociente entre el número
de caras y el número de lanzamientos]:
4. La teoría matemática
de la probabilidad
¿Por dónde puede empezar la Matemática
a indagar acerca de las situaciones en las que
intervienenelazarylaincertidumbre?Unavía
puede ser preguntar por la naturaleza de las
situaciones o fenómenos que debemos abor-
dar.
4.1. Los tipos de fenómenos
a) Así, hay sucesos o eventos que son to-
talmente predecibles, seguros; por ejemplo,
que 2 + 2 es 4; que un hijo tiene menos años
que sus progenitores vivos; que un objeto ex-
puesto a una fuente luminosa ?ja produce una
sombra;quedosobjetoscolocadosenelvacío
caen a la misma velocidad; que en un plano la
línea recta es el camino más corto para unir
dos puntos; que, como decía nuestro inolvi-
dable Mario Moreno, Cantin?as, “siempre que
pasa igual, sucede lo mismo”; etc.
En todos estos eventos, puedo predecir el
resultado con precisión, sin ninguna duda: si
me preguntan por el resultado de 2 + 2, o si
una persona tiene menos años que su proge-
nitor vivo, o cuál es el camino más corto para
unir dos puntos de un plano, o de qué color
será una cinta que se extrae de una caja don-
de todas las cintas son verdes; etc.: tengo una
respuesta única para cada una de estas situa-
ciones.
b) Hay otro tipo de fenómenos que son
totalmente fortuitos y cuyos resultados son
10
Como podemos observar, la frecuencia re-
lativa oscila (sobre todo al comienzo), pero a
medidaquecreceelnúmerodecasostiendea
estabilizarse alrededor de cierto valor (en este
caso, alrededor de 0,5).
Reúnanse en grupo y efectúe cada
quien 100 lanzamientos de una moneda,
anotando los resultados obtenidos.
a) Elabore cada quien una tabla similar
a la anterior (para el caso de obtener sello)
y obtenga la frecuencia relativa correspon-
diente a su serie completa de lanzamien-
tos.
b)Obtenganlamediadelasfrecuencias
relativas calculadas en a).
c) Si hubieran reunido en una sola serie
el número de sellos obtenidos entre todos
los participantes y hubieran calculado la
frecuencia relativa correspondiente, ¿habría
coincidido este valor con el obtenido en b)?
¿Por qué? (Calcúlenlo, para salir de dudas).
Si analizamos con cuidado este experi-
mento de lanzar una moneda y preguntar por
el resultado del lanzamiento, podemos desta-
car las siguientes características:
• El experimento tiene más de un resulta-
do posible, sin que exista ventaja de uno(s) de
ellosrespectoalosdemás(ennuestrocasohay
dos resultados posibles: C o S; y la moneda es
normal).
• Para cualquier observador del experi-
mento y a partir de sus conocimientos, el re-
sultado es impredecible.
• Se supone que el experimento se pue-
de reproducir cuantas veces se desee, en
las mismas condiciones.
• La secuencia de resultados obteni-
dos en la repetición del experimento care-
ce de un patrón que el observador pueda
predecir (en nuestro caso, después de que
salga cara no se puede asegurar que en el
siguiente lanzamiento saldrá sello; no hay
ningún patrón y pueden producirse rachas
de caras o de sellos de cualquier tamaño).
• Las ?uctuaciones de las frecuencias
relativas se hacen cada vez más estables a
medida que aumenta el número de experi-
mentos; y la amplitud de las variaciones de
cada frecuencia relativa con respecto a la
anterior, tiende a hacerse cada vez menor.
En otras palabras, hay una estabilización, a
largo plazo, de la frecuencia relativa.
Kolmogorov, un matemático ruso que
vivió en el siglo pasado (1903-1987), con-
sideró estas características como propias y
singulares de ciertos fenómenos. Pues bien,
los fenómenos que se rigen por estos princi-
pios reciben el nombre de fenómenos alea-
torios. Y ese valor, estabilizado a largo pla-
zo, de la frecuencia relativa de un evento
(por ejemplo, del evento “sacar cara en un
lanzamiento”, o “sacar 3 caras en tres lan-
zamientos seguidos”…) se denomina proba-
bilidad del evento, o probabilidad asocia-
da al evento. Esto es lo que se estudia en la
teoría matemática de la probabilidad.
La historia de la matemática consi-
dera a los matemáticos franceses Pascal
(1623-1662) y Fermat (1601-1665) –otra
vez nuestro amigo Fermat…- como los
iniciadores del cálculo de probabilidades,
al resolver un par de problemas propues-
tos por el caballero De Meré a Pascal. Un
par de problemas bien mundanos, cono-
cidos como el problema de los dados y el
problema de las partidas.
En el primero se planteaba si es más
probable que salga un 6 en cuatro tiradas
de un solo dado, o que salga un doble 6
en 24 tiradas de dos dados. En el segun-
do, se deseaba averiguar la forma justa
en que debía distribuirse el monto de la
apuesta entre dos jugadores igualmente
hábiles, si la partida se suspendía antes
de tiempo y se conocían los puntos lo-
grados por cada uno para el momento de
la interrupción.
De modo que
los primeros desa-
rrollos matemáticos
referentes a la
teoría de la proba-
bilidad nacieron al
calor del juego y
de las apuestas…
Recordemos que
eran los años de
esplendor del rei-
nado de Luis XIV
(1638-1715), el
Rey Sol, un siglo
antes de la Revo-
lución Francesa.
La costumbre de tomar como referen-
cia los juegos de azar para estudiar la teoría
matemática de la probabilidad no es, pues,
11
una concesión a los jugadores, apostadores
y tahúres de o?cio. De hecho, representa
un doble reconocimiento: a los orígenes
históricos del establecimiento de esta teo-
ría, y al hecho de que tales juegos ofrecen
los mejores ejemplos para presentarla y en-
tenderla.
4.2. Espacio muestral y eventos
probabilísticos
Consideremos un experimento alea-
torio (en el sentido de Kolmogorov) como
el de arrojar un dado (no cargado) sobre
una mesa y observar los puntos de la cara
superior. Los posibles resultados son (en
números que indican los puntos de cada
cara): 1, 2, 3, 4, 5 y 6. El conjunto de todos
los resultados posibles de un experimen-
to aleatorio recibe el nombre de espacio
muestral; lo representaremos con la letra E.
En nuestro caso el espacio muestral es: E =
{1, 2, 3, 4, 5, 6}.
1. Considere el experimento aleatorio
de lanzar una moneda al aire y observar
el lado que queda a la vista. Determine
su espacio muestral.
2. Considere el experimento aleato-
rio consistente en extraer una bola de
una bolsa que contiene bolas rojas (R),
verdes (V) y negras (N). Determine su
espacio muestral.
Volviendo a nuestro experimento con
los dados, podemos imaginarnos diversas
situaciones; por ejemplo, para una tirada
del dado: obtener un 6; obtener un número
12
par; obtener un número primo; obtener un divisor de 12; etc. Cada una de estas situacio-
nes recibe el nombre de evento o suceso.
Observemos que los resultados satisfactorios que pueden esperarse en cada caso son,
respectivamente: {6}; {2, 4, 6}; {2, 3, 5}; {1, 2, 3, 4, 6}.
Si nos ?jamos, estos cuatro grupos de números son
subconjuntos del espacio muestral; es decir, conjun-
tos formados por elementos que ?guran en el espacio
muestral. Ahora podemos dar una de?nición más pre-
cisa: Cada uno de los posibles subconjuntos del es-
pacio muestral recibe el nombre de evento o suceso.
Los designaremos con letras mayúsculas: A, B, etc., o
con mayúsculas con subíndices: A1, A2, etc.
Un evento puede ser descrito, pues, de dos maneras posibles: por medio de palabras,
o como subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo, para los cuatro casos citados
anteriormente:
• “obtener un divisor de 12” y “ob-
tener un 5”
• “obtener un 1” y “obtener un nú-
mero primo”
Por otro lado, los eventos pueden com-
binarse unos con otros para formar eventos
más complejos; siguiendo con el experi-
mento del lanzamiento de un dado, pode-
mos pensar en los eventos:
• obtener un número que sea par o
impar,
• obtener un número que sea primo
o compuesto,
• obtener un número que sea primo
y par,
• obtener un número que sea par y
divisor de 15,
• obtener un número que no sea di-
visor de 12,
• obtener un número que no sea
primo, etc.
Como puede observarse, los eventos se
combinan por la vía de una disyunción (tal
cosa o tal otra), de una conjunción (tal cosa
y tal otra), o de una negación (que no sea
tal cosa).
3. Determine los subconjuntos del es-
pacio muestral {1, 2, 3, 4, 5, 6} correspon-
dientes a cada uno de los 6 eventos que se
acaban de mencionar.
Una palabra sobre las operaciones con
conjuntos
Cuando tenemos dos conjuntos, A y B,
podemos agrupar en un solo conjunto los
elementos de ambos conjuntos, conser-
13
Dé una posible descripción de los siguientes eventos: {1, 3, 5}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4, 5, 6}, { }.
Estas pueden ser unas posibles respuestas:
Los eventos que coinciden con todo el espacio muestral reciben el nombre de eventos
o sucesos seguros; por ejemplo, es seguro que al lanzar un dado se obtendrá un divisor
de 60. Por el contrario, los eventos “vacíos”, sin ningún elemento del espacio muestral,
reciben el nombre de eventos o sucesos imposibles; por ejemplo, es imposible que al
lanzar un dado normal se obtenga una cara con 7 puntos. Finalmente, los eventos que
constan de un solo elemento del espacio muestral, reciben el nombre de eventos o suce-
sos elementales; por ejemplo, “obtener un 6”.
El conjunto vacío { } también se representa con la letra griega Ø (?).
Al comparar dos eventos podemos descubrir si son compatibles o incompatibles; se
dice que son compatibles si el hecho de ocurrir uno de ellos no excluye la posibilidad de
que ocurra el otro; e incompatibles cuando sí se da esa exclusión (por esta razón, también
se llaman excluyentes). Por ejemplo, en el experimento que venimos estudiando, son
sucesos incompatibles:
• “obtener un número par” y “obtener un número impar”
• “obtener un 6” y “obtener un número menor que 4”
vando solamente los elementos distintos.
El nuevo conjunto obtenido de esa manera
recibe el nombre de unión de los conjuntos
A y B, y se representa así: A U B.
También podemos formar un nuevo
conjunto con aquellos elementos que están
simultáneamente presentes en ambos con-
juntos. El nuevo conjunto obtenido de esa
manera recibe el nombre de intersección
de los conjuntos A y B, y se representa así:
A B.
Finalmente, si A es un subconjunto de E,
podemos hablar del conjunto complemen-
to de A con respecto a E. En este conjunto
están presentes los elementos de E que no
?guran en A. Lo representamos: A.
Por ejemplo, si E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, 10}, A = {1, 2, 4, 7, 10} y B = {1, 3, 5, 7,
9}, obtenemos:
A B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10}
A B = {1, 7}
A = {3, 5, 6, 8, 9}
14
Si tomamos en cuenta esta aclaratoria
y los resultados del último ejercicio, pode-
mos percatarnos de que:
• el subconjunto que se asocia a la dis-
yunción de dos eventos, A o B, es A U B;
• el subconjunto que se asocia a la con-
junción de dos eventos, A y B, es A B;
• el subconjunto que s e asocia a la ne-
gación de un evento A es A;
• si dos eventos A y B son incompati-
bles, entonces A B = Ø ;
• y viceversa, si A B = Ø, entonces los
eventos A y B son incompatibles.
4. Si dos eventos incompatibles se com-
binan por la vía de la disyunción, ¿se ob-
tiene siempre el espacio muestral? Ayúdese
con un ejemplo.
5. Si se combinan dos eventos –uno de
los cuales es la negación del otro- por la
vía de la disyunción, ¿qué subconjunto del
espacio muestral se obtiene? Ayúdese con
un ejemplo.
Cuando la combinación, por la vía de
la disyunción, de dos eventos que no com-
parten ningún elemento del espacio mues-
tral genera el propio espacio muestral, los
sucesos se denominan complementarios.
En notación simbólica se expresará: si A
B =Ø y si A U B = E, entonces A y B son
complementarios.
Tal es el caso de la disyunción de dos
eventos cuando uno de ellos es la negación
del otro; por ejemplo, en nuestro experi-
mento del lanzamiento de un dado, “obte-
ner un número que sea par” y “obtener un
número que sea impar”, son dos eventos
complementarios. También lo son “obte-
ner un número que sea divisor de 12” y “ob-
tener un número que sea múltiplo de 5”.
Conviene no confundir algunas situa-
ciones respecto a los eventos. Por ejem-
plo, al escribir “obtener un número que
sea divisor de 12” y “obtener un número
que sea múltiplo de 5”, estamos mencio-
nando dos eventos; pero al escribir “ob-
tener un número que sea divisor de 12 y
que sea múltiplo de 5”, estamos hablando
de un solo evento (por cierto, imposible),
combinación de los dos primeros.
Una segunda observación: que dos
eventos sean incompatibles no siempre
significa que sean complementarios. Por
ejemplo, en el experimento de lanzar un
dado, los eventos A: “obtener un número
menor que 3” y B: “obtener un número
mayor que 3” son incompatibles. En efec-
to, A = {1, 2} y B = {4, 5, 6}, de donde A
B = Ø . Sin embargo, A U B = {1, 2, 4, 5,
6}, que es ? E.
Vamos a resolver ahora algunos ejer-
cicios relativos a espacios muestrales y
eventos correspondientes a diferentes ex-
perimentos.
Consideremos el experimento lanzar
una moneda tres veces consecutivas y ob-
servar las ternas de lados que son visibles
en los lanzamientos. ¿Cuál es el espacio
muestral correspondiente?
Si designamos con C el evento “salir
cara” y con S el evento “salir sello” en
cada lanzamiento, el espacio muestral con-
tará con 8 eventos elementales: E = {CCC,
CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS}. Como
puede apreciarse, hemos seguido cierto or-
den: todos los casos con 3 caras, con 2 caras,
con 1 cara y, ?nalmente, con ninguna cara.
Escriba los subconjuntos que caracteri-
zan a cada uno de los eventos siguientes:
a) A1: aparecen dos o más caras conse-
cutivamente;
b) A2: aparecen cuatro sellos;
c) A3: aparecen sólo dos sellos;
d) A4: aparecen tres lados iguales de la
moneda;
e) A5: aparecen al menos dos caras;
f) A6: aparecen menos de dos sellos;
g) A7: aparece sólo una cara.
Estos son los subconjuntos:
a) A1 = {CCC, CCS, SCC}
b) A2 =Ø
c) A3 = {CSS, SCS, SSC}
d) A4 = {SSS, CCC}
e) A5 = {CCC, CCS, CSC, SCC}
f) A6 = {CCC, CCS, CSC, SCC}
f) A7 = {CSS, SCS, SSC}
Tomando como base el ejercicio anterior:
a) determine todos los pares de eventos
que son incompatibles;
b) determine todos los pares de eventos
que son complementarios;
c) describa el evento formado por la
conjunción de A1 y A4;
d) describa el evento formado por la
conjunción de A5 y A6;
e) describa el evento formado por la f) Evento imposible Ø
conjunción de A3 y A6; g) Evento imposible Ø
f) describa el evento formado por la h) Aparecen dos o más caras consecutiva-
conjunción de A7 y A4; mente, o sólo dos sellos {CCC, CCS,
g) describa el evento formado por la SCC, CSS, SCS, SSC}
conjunción de A1 y A3; i) El mismo evento A7 {CSS, SCS, SSC}
h) describa el evento formado por la j) Aparecen tres lados iguales de la mo-
disyunción de A1 y A3; neda o sólo una cara {SSS, CCC, CSS,
i) describa el evento formado por la SCS, SSC}
disyunción de A2 y A7; k) Aparecen sólo dos sellos o menos de
j) describa el evento formado por la dos sellos; o bien, aparece cualquier even-
disyunción de A4 y A7; to elemental, excepto el que tenga tres se-
k) describa el evento formado por la llos {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS,
disyunción de A3 y A6; SSC }
l) describa el evento formado por la ne- l) Aparece cualquier evento elemental, ex-
gación de A3; cepto los que tengan dos sellos {CCC,
m) describa el evento formado por la CCS, CSC, SCC, SSS}
negación de A2; m) Aparece cualquier evento elemental
n) describa el evento formado por la ne- {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC,
gación de A4; SSS} = E
ñ) describa el evento formado por la ne- n) No aparecen tres lados iguales de la
gación de A7. moneda {CCS, CSC, SCC, CSS, SCS,
SSC}
Antes de comenzar a responder las pre- ñ) Aparece cualquier evento elemental,
guntas, conviene observar que los eventos excepto los que tengan una sola cara
A3 y A7 son iguales (es lo mismo que “apa- {CCC, CCS, CSC, SCC, SSS}
rezcan sólo dos sellos” o que “aparezca
sólo una cara”). También son iguales los 6. Tenemos una bolsa que contiene 6
eventos A5 y A6 (es lo mismo que “aparez- bolas uniformes, 2 de cada uno de estos co-
can al menos dos caras” o que “aparezcan lores: rojo (R), verde (V) y gris (G). Conside-
menos de dos sellos”). re ahora el experimento de extraer 1 bola,
anotar su color y devolverla a la bolsa, y
a)A2 esincompatiblecontodoslosdemás hacer esto dos veces seguidas.
sucesos; además, A3 y A7 son incompati-
bles con A1, A4, A5 y A6. a) Determine el espacio muestral.
b) No hay ningún par de sucesos comple- b) Escriba el subconjunto asociado al
mentarios. evento “se extraen dos bolas del mismo
c) Aparecen tres caras {CCC} color”.
d) Cualquiera de los dos eventos, A5 o A6. c) Escriba el subconjunto asociado al
e) Evento imposible Ø evento negación del anterior.
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7. Sea ahora el experimento de lanzar
juntos un dado y una moneda y observar
la cara superior del dado y el lado de la
moneda que queda a la vista.
a) Determine el espacio muestral.
b) Escriba el subconjunto asociado
al evento A1: “aparece una cara y un
número par”.
c) Escriba el subconjunto asociado al
evento A2: “aparece un sello y un nú-
mero primo”.
d) Escriba el subconjunto asociado al
evento A3: “aparece una cara y un nú-
mero primo”.
e) Escriba el subconjunto asociado al
evento A4: “aparece un sello y un nú-
mero impar”.
f) ¿Son complementarios los eventos A1
y A4?
g) ¿Son complementarios los eventos A2
y A3?
h) Describa con palabras el evento que
sea negación de A4 y determine el sub-
conjunto asociado.
i) Describa con palabras el evento que
sea la conjunción de A2 y A4, y determi-
ne el subconjunto asociado.
j) Describa con palabras el evento que
sea la disyunción de A1 y A2, y determi-
ne el subconjunto asociado.
k) Describa con palabras el evento que
sea la disyunción de A1 y A4, y determi-
ne el subconjunto asociado.
l) Describa con palabras el evento que
sea la conjunción de A2 y A3, y determi-
ne el subconjunto asociado.
16
4.3. La probabilidad asociada a un
evento
Como dijimos al hablar de los fenóme-
nos aleatorios (en el sentido atribuido por
Kolmogorov), cuando se realiza un experi-
mento se observa que la frecuencia relativa
de un evento (por ejemplo, del evento “sa-
car cara en un lanzamiento de una mone-
da”, o “sacar 3 caras en tres lanzamientos
seguidos”…) tiende a estabilizarse a largo
plazo; y precisamos que ese valor se deno-
mina probabilidad del evento, o probabili-
dad asociada al evento.
Esta es una de las formas de de?nir la
probabilidad asociada a un evento en un fe-
nómeno o experimento aleatorio (Batanero,
2005). Como se aprecia, junto a la claridad
conceptual se presentan ciertas di?cultades
prácticas, ya que se obliga a repetir el expe-
rimento un gran número de veces; además,
los valores de esas frecuencias relativas no
tienen por qué coincidir al cabo de esa se-
rie de repeticiones.
Junto a esta forma de referirse a la pro-
babilidad de un evento, basada, como se
ve, en experimentos empíricos, se han de-
?nido otras a lo largo de la historia. Entre
ellas destaca la que propuso Laplace, mate-
mático y físico francés (1749-1827), en 1814,
recogiendo muchas de las observaciones y
formas de resolver problemas desarrolladas
con anterioridad.
Antes de continuar, una observación.
En todos los experimentos que hemos cita-
do hasta ahora (lanzamiento de monedas,
de dados, extracción de bolas de una bol-
sa) y en otros similares, suponemos que la
probabilidad de cada uno de los eventos
elementales es la misma; es decir, que los
eventos son equiprobables.
Laplace propuso la siguiente regla para
calcular la probabilidad asociada a un
evento, en un espacio de eventos equipro-
bables: es la fracción cuyo numerador es el
número de casos favorables y cuyo deno-
minador es el número de todos los casos
posibles.
Hablando en los términos en que veni-
mos re?riéndonos a los eventos, la regla se
traduce así: la probabilidad de un evento
A, en un espacio de eventos equiproba-
bles, viene dada por una fracción cuyo
numerador es el cardinal del subconjunto
asociado al evento, y cuyo denominador
es el cardinal del espacio muestral. Y se
denota: P(A).
P(A) = #(A) / #(E)
A partir de la acotación anterior se des-
prende que:
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a) la probabilidad de un evento seguro
es 1: P(E) = 1.
b) la probabilidad de un evento imposi-
ble es 0: P(Ø) = 0.
c) la probabilidad de cualquier otro
evento A es un valor comprendido entre 0
y 1: 0 < P(A) < 1.
d) la suma de las probabilidades de los
eventos elementales de un experimento
aleatorio debe ser igual a 1.
e) si A es un evento comprendido den-
tro de un evento B (es decir, si A es un sub-
conjunto de B, lo que se representa así:
A B), entonces P(A) < P(B).
Así, para el experimento de lanzar una
moneda y observar el lado que queda a la
vista, la probabilidad de los eventos “apare-
ce cara” y “aparece sello” es 1/2 en ambos
casos; y su suma, es 1. Y para el experimen-
to de lanzar un dado y observar los puntos
de la cara superior del mismo, la probabi-
lidad del evento “aparece un 3” es 1/6; y
la suma de las probabilidades de los seis
eventos elementales es 1.
Siguiendo con el experimento de lanzar
un dado y observar los puntos de la cara
superior del mismo, calculemos la probabi-
lidad de los siguientes eventos:
A1:
A2:
A3:
A4:
A5:
obtener un número par;
obtener un número primo;
obtener un número divisor de 60;
obtener un 7;
obtener un número mayor que 2.
He aquí una manera de organizar la in-
formación y llegar a las respuestas:
Consideremos el experimento lanzar una moneda tres veces consecutivas y observar
las ternas de lados que son visibles en los lanzamientos. Calcule la probabilidad de cada
uno de los eventos siguientes:
A1: aparecen dos o más caras consecutivamente;
A2: aparecen cuatro sellos;
A3: aparecen sólo dos sellos;
A4: aparecen tres lados iguales de la moneda;
A5: aparecen al menos dos caras;
A6: aparecen menos de dos sellos;
A7: aparece sólo una cara.
Presentamos una tabla similar a la del ejercicio anterior; ahora el espacio muestral es:
E = {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS}.
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